( Kvadratne jednadzbe - sažetak )

		Kvadratna jednadžba a x 2 + b x + c = 0 , a 0 x je nepoznanica, a , b , c su koeficijentima . rješavamo je formulom ...............
		Nepotpuna kvadratna jednadžba je oblika a x2 + c = 0 , a 0 , b = 0 rješenja su suprotni brojevi , realni ili imaginarni a x2 + b x = 0 , a 0 , c = 0 jedno rješenje je nula ( 0 ) , drugo rješenje je realan broj.   D = b 2 - 4 a c ......................diskriminanta je kvadratne jednadžbe D > 0 rješenja su realna i međusobno različiti brojevi ( x1 x2 ) D = 0 rješenja su realna i dvostruka ( x1 = x2 ) D < 0 rješenja su konjugirano kompleksni brojevi ( x1 = a + b i , x2 = a - b i )   zbroj i umnožak rješenja jednadžbe a x 2 + b x + c = 0 je .......... ,..........   a x 2 + b x + c = a [ x 2 - ( x 1 + x 2 ) x + x 1 . x 2 ] ili a x 2 + b x + c = a ( x - x 1) ( x - x 2)   Jednadžbe koje se svode na kvadratnu jednadžbu su - bikvadratna jednadžba ..........................a x 4 + b x 2 + c = 0 - iracionalna jednadžba .......................( nepoznanica je pod korijenom )

François Viete (1540. - 13. veljače 1603.), poznat i kao Francisko Vieta, bio јe francuski matematičar.
Rođen јe u Fontenay-le-Comteu i vjeruje se da јe odgaјan kao rimokatolik; ali nema sumnje da јe nekoliko godina bio Hugenot. Po završetku studiјa prava u Poatјeu, Viјet јe počeo svoјu karijeru kao advokat u svom rodnom gradu. Napustio јe Fontenay-le-Comte oko 1567. godine i kasniјe postao savjetnik Parlamenta Britanije u Renu. Zbog religijskih problema јe napustio tu poziciju, pa ga јe Henri, roanski voјvoda, poznati vođa Hugenota, uzeo pod svoјu posebnu zaštitu. Henri od Navare јe uputio dva pisma kralju Henriјu III od Francuske, 3. ožujka i 26. travnja 1585. godine, u pokušaјu da vrati Vietea na svoјu poziciјu; taј pokušaј јe bio neuspješan. Pošto јe Henri od Navare postao kralj Francuske, Vieteu јe dat položaj savjetnika parlamenta u Turu (1589). Zatim јe postao kraljevski osobni savjetnik, i to јe ostao do svoјe smrti, koјa se iznenada dogodila u Parizu veljače 1603. godine. Uzrok smrti јe nepoznat.
Dok јe bio u Turu, Viete јe otkrio ključ Španjolske šifre, koјi se sastoјao od više od 500 znakova i ovo јe značilo da su sve poruke na tom јeziku Francuzi mogli lako pročitati. Međutim, njegova slava se sada u potpunosti oslanja na njegova dostignuća u matematici. Kako je bio imućan, štampao je broјne radove o svom trošku, i u njima јe pisao o raznim granama nauke i slao ih јe naučnicima u skoro svakoј zemlji Europe. njegov jak karakter može se vidjeti u činjenici da јe mjesec dana kao gosta zabavljao svog naučnog nepriјatelja, Adriјana van Romena, a onda platio troškove njegovog povratka kući. Vieteovi spisi su veoma brzo postali poznati; međutim, kada јe Francisko van Shoten izdao opće izdanje njegovih djela 1656. godine, neka su izgubljena.
Vieteovim spisima јe nedostaјala disciplina. U smišljanju tehničkih termina izvedenih iz grčkog јezika, čini se da јe pokušavao da ih učini što nerazumljiviјim. Niјedan od njih niјe opstao, a niјe prihvaćen ni njegov prijedlog da se nepoznate veličine obilježavaju samoglasnicima A, E, I, O, U i Y (suglasnici B, C itd. bili bi rezervirani za poznate veličine). Vietee se često naziva ocem moderne algebre. Ovo ne znači da se niko prije njega niјe sjetio da koristi simbole koјi nisu broјevi, kao što su slova abecede, za označavanje veličina u aritmetici, već јe on ovaј običaј samo popularizirao.
S druge strane, Viete јe bio vješt u mnogim modernim vještinama, tražeći pročišćavanje jednadžbi zamjenom novih veličina koјe imaju određenu vezu sa primitivnim nepoznatim veličinama. Јedno od njegovih djela, Recensio canonica effectionum geometricarum, ono što јe kasniјe nazvano algebarska geometriјa, јe zbirka pravila kako konstruirati algebarske izraze koristeći samo ravnalo i šestar. Premda su ovi spisi bili uglavnom razumljivi, pa stoga od velike didaktičke važnosti, princip homogenosti, koga јe prvi formulirao Viete, bio јe daleko ispred svog vremena. Taј princip su koristili grčki autori klasičnog doba; ali od kasniјih matematičara, samo su Heron, Diofant i drugi bili spremni da smatraјu liniјe i površine kao obične broјeve koјi se mogu spojiti kako bi dali novi broј, njihov zbroj.
Viјet јe znao da postoji veza između pozitivnih korijena jednadžbe i koeficijenata različitih stepena nepoznate veličine (Diofantove formule i njihova primjena na kvadratne јednadžbe). Otkrio јe formulu za izvođenje sinusa višestrukog ugla i znao јu јe јoš 1593. godine. Te godine јe Adriјan van Romen svim matematičarima kao problem zadao јednu jednadžbu 45. stepena, koјu јe Viete odmah riješio, јer јe prepoznao da zavisi od jednadžbe između sinx i \sin \frac x{45}. To јe bio prvi susret ova dva naučnika. Drugi se odigrao kada јe Viete ukazao da niјe јoš ovladao Apoloniјevim problemom dodira, a Adriјan van Romen јe dao rješenje preko hiperbole. Viete ga, međutim, niјe prihvatio, јer јe postojalo rješenje uz pomoć samo redala i šestara, koje јe objavio u Apollonius Gallus (1600.). U ovom radu, Viete koristi centar sličnosti dva kruga. Konačno, dao јe beskonačni proizvod za broј π (Vieteova formula).
Vietova sakupljena djela јe izdao Francisko Van Shoten u Laјdenu 1646. godine pod nazivom Opera Mathematica.

Kvadratna jednadžba a x 2 + b x + c = 0 , a  0 x je nepoznanica, a , b , c su koeficijentima . rješavamo je formulom   ..............
Nepotpuna kvadratna jednadžba je oblika a x2 + c = 0 , a  0 , b = 0 rješenja su suprotni brojevi , realni ili imaginarni a x2 + b x = 0 , a  0 , c = 0 jedno rješenje je nula ( 0 ) , drugo rješenje je realan broj. D = b 2 - 4 a c ......................diskriminanta je kvadratne jednadžbe D > 0 rješenja su realna i međusobno različiti brojevi ( x1  x2 ) D = 0 rješenja su realna i dvostruka ( x1 = x2 ) D < 0 rješenja su konjugirano kompleksni brojevi ( x1 = a + b i , x2 = a - b i ) zbroj i umnožak rješenja jednadžbe  a x 2 + b x + c = 0 je .......... ,..........   a x 2 + b x + c = a [ x 2 - ( x 1 + x 2 ) x + x 1 . x 2 ]  ili a x 2 + b x + c = a ( x - x 1) ( x - x 2) Jednadžbe koje se svode na kvadratnu jednadžbu su - bikvadratna jednadžba ..........................a x 4 + b x 2 + c = 0 - iracionalna jednadžba .......................( nepoznanica je pod korijenom ) - simetrične jednadžbe ( 3. stupnja ) ....a x 3 + b x 2 + b x + a = 0 - sustav linearne i kvadratne jednadžbe

http://www.mim-sraga.com/formule/kompleksni-brojevi.htm

Kvadratne jednadžbe

http://www.youtube.com/watch?v=uUKui4QlO_Y

Tko je to?

WIKI...

Može se prikazati u obliku:

iz čega slijedi da je

Ukoliko je jedan od članova negativan, jednadžba će imati dva realna rješenja (dva realna korijena)

,

a ukoliko su oba člana negativna ili pozitivna jednadžba će imati dva imaginarna rješenja

.

Kvadratna jednadžba gdje je c = 0 [uredi]

Može se prikazati u obliku

što se može prikazati i kao

.

Rješenja ove jednadžbe bit će očito

,

gdje ovakav oblik kvadratne jednadžbe ima uvijek realna rješenja.

Kvadratna jednadžba sa svim članovima [uredi]

Kvadratna jednadžba oblika

može se jednostavno riješiti ukoliko se kvadratna jednadžba može prikazati kao produkt dva binomna faktora. Na primjer, odmah je vidljivo da se jednadžba

može prikazati i kao

gdje je očito da će rješenja jednadžbe biti

jer upravo za te vrijednosti nezavisne varijable vrijednost funkcije će biti jednaka nuli. Kvadratna jednadžba se, međutim, pojavljuje u tako povoljnim oblicima razmjerno rijetko te najčešće valja poznavati općenito rješenje kvadratne jednadžbe.

Općenito rješenje kvadratne jednadžbe [uredi]

Kvadratna jednadžba oblika

može se transformirati redom kako slijedi

gdje posljednja jednakost daje eksplicitna rješenja kvadratne jednadžbe. Izraz

naziva se diskriminanta kvadratne jednadžbe te se kvadratnu jednadžba može prikazati i u sljedećem obliku

Danny MB16. rujna 2012. 06:41

Kompleksan broj se sastoji od realnog i imaginarnog dijela.
Npr. z = a+ib, pri čemu je "a" realni, a "b" imaginarni dio jer je uz njega "i" koje označava da je broj imaginaran.
Kompleksne brojeve zbrajamo, oduzimamo, množimo, i dijelimo tako da ih uvrstimo u formule. (za "z" i "w" ću koristiti iste brojke)
z = 2-3i, w = -1+4i
Kod svake operacije, umjesto "z" i "w" uvrstimo njihove jednakosti.

ZBRAJANJE: z+w2-3i+(-1 +4i) = 2-3i-1+4i
Računamo realne s realnima, imaginarne s imaginarnima:(2-1)+(4i-3i)I dobimo rezultat:1+i

ODUZIMANJE: z-wKod oduzimanja je važno paziti na "-"2-3i-(-1+4i) = 2-3i+1-4i
Računamo realne s realnima, imaginarne s imaginarnima:(2+1)+(-3-4i)I dobimo rezultat:3-7i

MNOŽENJE: z*w (i2 <- "i" na kvadrat)
Kod množenja, množimo svaki broj iz prve zagrade sa svakim brojem iz druge zagrade:(2-3i)(-1+4i) = 2*(-1)+2*4i+(-3i)*(-1)-3i*4i = 2-2+8i+3i-12i2
Pošto je "i2" jednak "-1", "-12" množimo sa "-1" iz čega proizlazi:-2+8i+3i+12Računamo realne s realnima, imaginarne s imaginarnima:(-2+12)+(8i+3i)I dobimo rezultat:10+11i

DIJELJENJE: z/w ("/" <- razlomačka crta)Kod dijeljenja, brojeve uvrštavamo u razlomak.2-3i/-1+4iDa bi došli do rezultata, ovaj razlomak moramo pomnožiti s razlomkom u kojem imaginarnim brojevima promijenimo predznak:2-3i/-1+4i * -1-4i/-1 - 4i
Sada razlomke pomnožimo:(2-3i)(-1-4i)/(-1)2-(4i)2 <- razlika kvadrata -> a2 - b2-2-8i+3i+12i2/1-16i2 <- zbog "i2" mijenjamo predznake ispred "12" i "16" pa to onda izgleda ovako:-2-8i+3i-12/1+16
Računamo realne s realnima, imaginarne s imaginarnima:-14-5i/17
Da bi ljepše izgledalo, ovaj razlomak možemo napisati i ovako:-14/17 - 5/17i
Konjugirano kompleksan broj nalazimo pomoću "z = a+ib".
Konjugirano kompleksnom broju imaginarni dio ima suprotan predznak, tj. "z = a-ib". (z -> "z" s povlakom)
Npr. z = 3-i -> z = 3+iz = -7i -> z = 7iz = 3 -> z = 3

Kompleksni brojevi

Započeli smo s kompleksnim brojevima.
Kako izgleda kompleksan broj, kako ih zbrajamo, oduzimamo, množimo i dijelimo?
Kako pronalazimo konjugirano kompleksan broj?
To su pitanja za početak na koja očekujem odgovor od nekog od vas....
Krenite-tko će biti dovoljno hrabar da bude prvi?
Pozdrav!

uvodna riječ

Pozdrav svima!!!

Hajde da malo uključimo i računala u naše učenje matematike.
Nadam se da ćete mi pomoći u izgradnji jednog malog virtualnog matematičkog svijeta koji je namjenjen prije svega vama učenicima.
Prije svega naravno bio bi red odgovoriti na nekoliko logičnih pitanja koja se nameću kad ste krenuli i otvorili ove stranice....

1. Zašto sam uopće ovako nešto pokrenula?

Uvijek mi je najvažniji cilj u poučavanju bio da vam približim matematiku i da ju zavolite kao predmet.Kao modernim informatički potkovanim mladim generacijama mislim da je suvremen i vama blizak način komunikacije računalo, Internet imate u malom prstu i ovako imam mogućnost komunikacije sa baš svakim učenikom što u učionici za vrijeme sata ne stignem.

Pa zašto ne bismo probali neki novi, drugačiji i nadam se interesantniji način učenja matematike.
2. Što će se na ovim stranicama nalaziti?

Pokušat ću postići da na ovim stranicama kratko ponovimo osnove svakog dijela gradiva obrađenog na satu, riješimo poneki primjer i zadane domaće uratke, da iskomentiramo koji problem koji se desio tijekom nastave matematike.
Poput zajedničkog matematičkog helpdeska.
Jeste li primjetili koju sam zamjenicu upotrijebila u prethodnoj rečenici?!!!

3. Kako će se odrađivati taj zajednički posao?

Profesor će na početku postavljati osnovne pojmove, teoreme, definicije, pravila vezana uz obrađeno gradivo. Riješit će se poneki primjer i zadavati zadaća... hm baš kao u školi...postaje dosadno?!
Vaš bi zadatak bio da kod kuće prilikom učenja pogledate sadržaj određenog bloga koji je trenutno aktualan ili ako ste u zaostatku prethodne blogove, upišete rješenja zadanih zadataka bilo sa nastave ukoliko to budem od vas tražila ili ovdje postavljenih zadataka, riješite poneki dodatni zadatak, odradite neki projektić.
Moja bi konačna namjera bila da zapravo učenici i pišu postove sa kratkim sažetkom naučenoga na satovima..u principu da vas ja samo nadgledam i vodim, no naravno za to bi se dogovorili na satovima i podijelili zaduženja.
Osnovna pravila ponašanja i slanja postova dogovorit ćemo na satu..da nam se ne bi dogodila šuma neželjenih postova.
Učenici bi mogli sami obraditi poneku nastavnu jedinicu, postaviti poneki zadatak ili sažetak gradiva, komentirati neku situaciju sa sata, nedoumicu, pitati.....to je u biti i osnovna zamisao!!!
Zgodno je što svakom postu možete dodati komentar..što će biti izvrsno mjesto za diskusiju.
To ne bi bio posao koji bi trebali raditi svakodnevno..ali nužno barem jednom tjedno.
Koliko će biti interesantno ovisit će o svima nama; zajedno ćemo kreirati naš mali matematički virtualni svijet.
U izradi ovih stranica uključeni su svi zainteresirani i kreativni učenici....

4. Zašto uopće da to radimo i da li će to utjecati na moju ocjenu?

Zašto ne?
Nije li fora reć da si na kompu učio matku?!
Ili nešto tipa :"Hej upravo sam predao zadaću preko kompa!" ili " Hej tnx, pa sad mi je jasno kak se to računa."
U daljnjem ćete se školovanju sigurno susretati s novim metodama poučavanja, pokušat ću vas barem malko uvoditi u takav način i učenja i komuniciranja jer je potrebno da se naučite i pravilno pisati postove i znati pravila pisanja postova. Iako je to tek zrnce mudrosti....to je daleko od moodle-a i inih lms modernih sustava koji su saživjeli na fakultetskom obrazovanju.

Uvijek treba pokušat naučit nešto novo, doživjet nešto drugačije, stjeći nova saznanja.
Treba htjeti!!! Ne samo zbog ocjena.
E,da ocjene..... Pa iskreno vidjet ćemo što će od svega ovoga ispasti....

U svakom slučaju bit će stimulativne .

Iz aktivnosti za početak, profesor kao kreator oih stranica može pregledavati postove i za svakog učenika vidjeti koliko je bio aktivan.
Ovisno o sadržaju posta, postavljenom zadatku i ozbiljnosti kojom pristupite cijeli ovaj zajednički projektić može dobiti na kvaliteti i iz njega ću tad moći i ocijeniti nečiji rad....štoviše postoji i mogućnost da se vi međusobno ocijenjujete...(pojedine postove).
Objavimo natječaj za najbolje napravljen sažetak nekog dijela gradiva, najbolji šalabahter..ma čudesne su mogućnosti suvremene nastave.

Da li vam sada sve zvuči barem malo interesantnije?

ZNAČI:
1. ako želim
2.barem jednom tjedno
3.mogu nešto naučiti
4.možda mogu i zaraditi koju dodatnu ocjenu
5.možda bi mi se mogao svidjeti ovaj način učenja
6.pa pokušat ću
7.ok pa krenimo s radom!!!