Arhitektonski tehničari 2011 - 2015.: rujna 2012

nedjelja, 30. rujna 2012.

Kvadratne jednadžbe

http://www.youtube.com/watch?v=uUKui4QlO_Y

petak, 28. rujna 2012.

Tko je to?

WIKI...

Može se prikazati u obliku:

$ax^2 + c = 0 \,$

iz čega slijedi da je

$x^2 = -\frac{c}{a} \,$

Ukoliko je jedan od članova negativan, jednadžba će imati dva realna rješenja (dva realna korijena)

$x_1 = + \sqrt{ \frac{c}{a}}, x_2 = - \sqrt{ \frac{c}{a}} \,$ ,

a ukoliko su oba člana negativna ili pozitivna jednadžba će imati dva imaginarna rješenja

$x_1 = +i \sqrt{ \frac{c}{a}}, x_2 = -i \sqrt{ \frac{c}{a}} \,$ .

Kvadratna jednadžba gdje je c = 0 [uredi]

Može se prikazati u obliku

$ax^2 + bx = 0 \,$

što se može prikazati i kao

$x(ax+b) = 0 \,$ .

Rješenja ove jednadžbe bit će očito

$x_1 = 0, x_2 = -\frac{b}{a} \,$ ,

gdje ovakav oblik kvadratne jednadžbe ima uvijek realna rješenja.

Kvadratna jednadžba sa svim članovima [uredi]

Kvadratna jednadžba oblika

$ax^2 + bx + c = 0 \,$

može se jednostavno riješiti ukoliko se kvadratna jednadžba može prikazati kao produkt dva binomna faktora. Na primjer, odmah je vidljivo da se jednadžba

$x^2 + x - 12 = 0 \,$

može prikazati i kao

$(x-3)(x+4) = 0 \,$

gdje je očito da će rješenja jednadžbe biti

$x_1= 3, x_2= -4 \,$

jer upravo za te vrijednosti nezavisne varijable vrijednost funkcije će biti jednaka nuli. Kvadratna jednadžba se, međutim, pojavljuje u tako povoljnim oblicima razmjerno rijetko te najčešće valja poznavati općenito rješenje kvadratne jednadžbe.

Općenito rješenje kvadratne jednadžbe [uredi]

Kvadratna jednadžba oblika

$ax^2 + bx + c = 0 \,$

može se transformirati redom kako slijedi

$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \,$

$(x + \frac{b}{2a}) ^2 + \frac{c}{a} -\frac{b^2}{4a^2} = 0 \,$

$(x + \frac{b}{2a}) ^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \,$

$(x + \frac{b}{2a}) ^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} \,$

$x_{1,2} + \frac{b}{2a} = \pm\sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

$x_{1,2} = -\frac{b}{2a} \pm\sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \,$

gdje posljednja jednakost daje eksplicitna rješenja kvadratne jednadžbe. Izraz

$b^2-4ac\,$

naziva se diskriminanta kvadratne jednadžbe te se kvadratnu jednadžba može prikazati i u sljedećem obliku

$x _{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt{D}}{2a}. \,$

nedjelja, 16. rujna 2012.

Danny MB16. rujna 2012. 06:41

Kompleksan broj se sastoji od realnog i imaginarnog dijela.
Npr. z = a+ib, pri čemu je "a" realni, a "b" imaginarni dio jer je uz njega "i" koje označava da je broj imaginaran.
Kompleksne brojeve zbrajamo, oduzimamo, množimo, i dijelimo tako da ih uvrstimo u formule. (za "z" i "w" ću koristiti iste brojke)
z = 2-3i, w = -1+4i
Kod svake operacije, umjesto "z" i "w" uvrstimo njihove jednakosti.

ZBRAJANJE: z+w2-3i+(-1 +4i) = 2-3i-1+4i
Računamo realne s realnima, imaginarne s imaginarnima:(2-1)+(4i-3i)I dobimo rezultat:1+i

ODUZIMANJE: z-wKod oduzimanja je važno paziti na "-"2-3i-(-1+4i) = 2-3i+1-4i
Računamo realne s realnima, imaginarne s imaginarnima:(2+1)+(-3-4i)I dobimo rezultat:3-7i

MNOŽENJE: z*w (i2 <- "i" na kvadrat)
Kod množenja, množimo svaki broj iz prve zagrade sa svakim brojem iz druge zagrade:(2-3i)(-1+4i) = 2*(-1)+2*4i+(-3i)*(-1)-3i*4i = 2-2+8i+3i-12i2
Pošto je "i2" jednak "-1", "-12" množimo sa "-1" iz čega proizlazi:-2+8i+3i+12Računamo realne s realnima, imaginarne s imaginarnima:(-2+12)+(8i+3i)I dobimo rezultat:10+11i

DIJELJENJE: z/w ("/" <- razlomačka crta)Kod dijeljenja, brojeve uvrštavamo u razlomak.2-3i/-1+4iDa bi došli do rezultata, ovaj razlomak moramo pomnožiti s razlomkom u kojem imaginarnim brojevima promijenimo predznak:2-3i/-1+4i * -1-4i/-1 - 4i
Sada razlomke pomnožimo:(2-3i)(-1-4i)/(-1)2-(4i)2 <- razlika kvadrata -> a2 - b2-2-8i+3i+12i2/1-16i2 <- zbog "i2" mijenjamo predznake ispred "12" i "16" pa to onda izgleda ovako:-2-8i+3i-12/1+16
Računamo realne s realnima, imaginarne s imaginarnima:-14-5i/17
Da bi ljepše izgledalo, ovaj razlomak možemo napisati i ovako:-14/17 - 5/17i
Konjugirano kompleksan broj nalazimo pomoću "z = a+ib".
Konjugirano kompleksnom broju imaginarni dio ima suprotan predznak, tj. "z = a-ib". (z -> "z" s povlakom)
Npr. z = 3-i -> z = 3+iz = -7i -> z = 7iz = 3 -> z = 3

ponedjeljak, 10. rujna 2012.

Kompleksni brojevi

Započeli smo s kompleksnim brojevima.
Kako izgleda kompleksan broj, kako ih zbrajamo, oduzimamo, množimo i dijelimo?
Kako pronalazimo konjugirano kompleksan broj?
To su pitanja za početak na koja očekujem odgovor od nekog od vas....
Krenite-tko će biti dovoljno hrabar da bude prvi?
Pozdrav!

uvodna riječ

Pozdrav svima!!!

Hajde da malo uključimo i računala u naše učenje matematike.
Nadam se da ćete mi pomoći u izgradnji jednog malog virtualnog matematičkog svijeta koji je namjenjen prije svega vama učenicima.
Prije svega naravno bio bi red odgovoriti na nekoliko logičnih pitanja koja se nameću kad ste krenuli i otvorili ove stranice....

1. Zašto sam uopće ovako nešto pokrenula?

Uvijek mi je najvažniji cilj u poučavanju bio da vam približim matematiku i da ju zavolite kao predmet.Kao modernim informatički potkovanim mladim generacijama mislim da je suvremen i vama blizak način komunikacije računalo, Internet imate u malom prstu i ovako imam mogućnost komunikacije sa baš svakim učenikom što u učionici za vrijeme sata ne stignem.

Pa zašto ne bismo probali neki novi, drugačiji i nadam se interesantniji način učenja matematike.
2. Što će se na ovim stranicama nalaziti?

Pokušat ću postići da na ovim stranicama kratko ponovimo osnove svakog dijela gradiva obrađenog na satu, riješimo poneki primjer i zadane domaće uratke, da iskomentiramo koji problem koji se desio tijekom nastave matematike.
Poput zajedničkog matematičkog helpdeska.
Jeste li primjetili koju sam zamjenicu upotrijebila u prethodnoj rečenici?!!!

3. Kako će se odrađivati taj zajednički posao?

Profesor će na početku postavljati osnovne pojmove, teoreme, definicije, pravila vezana uz obrađeno gradivo. Riješit će se poneki primjer i zadavati zadaća... hm baš kao u školi...postaje dosadno?!
Vaš bi zadatak bio da kod kuće prilikom učenja pogledate sadržaj određenog bloga koji je trenutno aktualan ili ako ste u zaostatku prethodne blogove, upišete rješenja zadanih zadataka bilo sa nastave ukoliko to budem od vas tražila ili ovdje postavljenih zadataka, riješite poneki dodatni zadatak, odradite neki projektić.
Moja bi konačna namjera bila da zapravo učenici i pišu postove sa kratkim sažetkom naučenoga na satovima..u principu da vas ja samo nadgledam i vodim, no naravno za to bi se dogovorili na satovima i podijelili zaduženja.
Osnovna pravila ponašanja i slanja postova dogovorit ćemo na satu..da nam se ne bi dogodila šuma neželjenih postova.
Učenici bi mogli sami obraditi poneku nastavnu jedinicu, postaviti poneki zadatak ili sažetak gradiva, komentirati neku situaciju sa sata, nedoumicu, pitati.....to je u biti i osnovna zamisao!!!
Zgodno je što svakom postu možete dodati komentar..što će biti izvrsno mjesto za diskusiju.
To ne bi bio posao koji bi trebali raditi svakodnevno..ali nužno barem jednom tjedno.
Koliko će biti interesantno ovisit će o svima nama; zajedno ćemo kreirati naš mali matematički virtualni svijet.
U izradi ovih stranica uključeni su svi zainteresirani i kreativni učenici....

4. Zašto uopće da to radimo i da li će to utjecati na moju ocjenu?

Zašto ne?
Nije li fora reć da si na kompu učio matku?!
Ili nešto tipa :"Hej upravo sam predao zadaću preko kompa!" ili " Hej tnx, pa sad mi je jasno kak se to računa."
U daljnjem ćete se školovanju sigurno susretati s novim metodama poučavanja, pokušat ću vas barem malko uvoditi u takav način i učenja i komuniciranja jer je potrebno da se naučite i pravilno pisati postove i znati pravila pisanja postova. Iako je to tek zrnce mudrosti....to je daleko od moodle-a i inih lms modernih sustava koji su saživjeli na fakultetskom obrazovanju.

Uvijek treba pokušat naučit nešto novo, doživjet nešto drugačije, stjeći nova saznanja.
Treba htjeti!!! Ne samo zbog ocjena.
E,da ocjene..... Pa iskreno vidjet ćemo što će od svega ovoga ispasti....

U svakom slučaju bit će stimulativne .

Iz aktivnosti za početak, profesor kao kreator oih stranica može pregledavati postove i za svakog učenika vidjeti koliko je bio aktivan.
Ovisno o sadržaju posta, postavljenom zadatku i ozbiljnosti kojom pristupite cijeli ovaj zajednički projektić može dobiti na kvaliteti i iz njega ću tad moći i ocijeniti nečiji rad....štoviše postoji i mogućnost da se vi međusobno ocijenjujete...(pojedine postove).
Objavimo natječaj za najbolje napravljen sažetak nekog dijela gradiva, najbolji šalabahter..ma čudesne su mogućnosti suvremene nastave.

Da li vam sada sve zvuči barem malo interesantnije?

ZNAČI:
1. ako želim
2.barem jednom tjedno
3.mogu nešto naučiti
4.možda mogu i zaraditi koju dodatnu ocjenu
5.možda bi mi se mogao svidjeti ovaj način učenja
6.pa pokušat ću
7.ok pa krenimo s radom!!!

Arhitektonski tehničari 2011 - 2015.

arhitektonci